Александр родился в 1955 г. в городе Клухори. Его отец работал парикмахером, а мать была домохозяйкой. Футболом мальчик увлекался с самого детства, а уже в возрасте 8 лет он начала тренироваться в секции «Динамо», где и продемонстрировал свой потенциал.
В 18 лет Александр попал во второй состав тбилисского «Динамо», а спустя год и в основной. В начале карьеры он исполнял роль полузащитника, но позже тренер решил попробовать Александра в роли центрального защитника, что принесло свои плоды.
В 1980-х годах футболист попал в состав сборной, за которую в будущем отыграл около 50-ти матчей. В том же году он стал бронзовым чемпионом Олимпийских игр, а в 1984 г. Александр со своей командой выиграл матч у англичан. Чивадзе являлся невероятным исполнителем, так как штрафные удары, пенальти и удары головой были его козырями.
Официально Александр был женат лишь единожды. Ему сразу же удалось создать крепкую семью. В браке с женщиной по имени Мзия у них появилось трое детей: два сына и одна дочь. Мальчики решили пойти по стопам отца и связали свою жизнь со спортом.
С 1993 г. Александр начал работать в тренерском штабе грузинской сборной, а сегодня он является тренером юношеской сборной страны. Почему-то отдельно с клубами работать Чивадзе не хотел.
В последние годы Александр много путешествует и часто встречается со многими товарищами, с которыми когда-то выходил на одно поле. Очень часто это бывают игроки других клубов, ведь соперниками они были только тогда на поле, а сегодня они просто товарищи.
Пару лет назад грузинский режиссер Г. Торадзе выпустил документальный фильм о талантливом футболисте. Кинолента получила название «Профессор футбола». Несколько лет назад Чивадзе был удостоен награды «Почетный гражданин Тбилиси».